CF1519E - Off by One

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CF1519E - Off by One

题目大意

给定 \(n\) 个点 \((x_i,y_i)=(\frac{a_i}{b_i},\frac{c_i}{d_i})\) ，求一个最大的匹配

满足匹配的点对 \((x_i,y_i),(x_j,y_j)\) 每个点经过如下操作

\((x,y)\rightarrow (x+1,y) or (x,y+1)\)

之后可能满足 \(\frac{y_i'}{x_i'}=\frac{y'_j}{x_j'}\)

模型简化

按照 \(\frac{y'}{x'}\) 对于每个点经过两种可能变换的值分类，建立节点

我们需要决策每个 \(P_i\) 选的变换种类

显然每个斜率对应的个数为偶数时，都可以完成匹配

对于每一个 \(P_i\) ，设其两种变换之后变成的斜率对应节点为 \((u,v)\) ，那么连一条无向边

现在问题转化为对于无向边定向，使得最少的点入度为奇数

对于任意一个连通块，若其包含奇数条边，那么至少有一个点入度为奇数

否则一定可以完成匹配

具体的，随便选择一个点作为根，然后只对于祖先向子孙的边考虑关系

从子孙向上考虑所有的边，优先让子孙的入度为偶数

那么只有包含奇数条边时，根的入度为奇数，其他节点入度永远是偶数

即达到最优解

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const int N=4e5+10,P=998244353;

int n,m;
struct Edge{
	int to,nxt;
} e[N*2];
int head[N];

struct Node{
	ll a,b;
	bool operator < (const Node __) const { return a<__.a || (a==__.a && b<__.b); } 
};
vector <int> G[N];

map <Node,int> M;
ll gcd(ll a,ll b){ return b==0?a:gcd(b,a%b); }
int Div(int a,int b,int c,int d){
	ll x=1ll*a*d,y=1ll*b*c,g=gcd(x,y);
	x/=g,y/=g;
	Node t=(Node){x,y};
	int &u=M[t];
	if(!u) u=++m;
	return u;
}

int vis[N],s[N],dfn;
void dfs(int u){
	vis[u]=++dfn,s[u]=0;
	for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt) {
		int v=e[i].to;
		if(vis[v] && vis[v]<vis[u]) continue;
		if(!vis[v]) dfs(v);
		if(!s[v]) s[u]^=1,G[u].pb(i/2);
		else s[v]^=1,G[v].pb(i/2);
	}
}

int main(){
	n=rd();
	rep(i,1,n) {
		int a=rd(),b=rd(),c=rd(),d=rd();
		int u=Div(a+b,b,c,d),v=Div(a,b,c+d,d);
		e[i*2]=(Edge){u,head[v]},head[v]=i*2;
		e[i*2+1]=(Edge){v,head[u]},head[u]=i*2+1;
	}
	rep(i,1,m) if(!vis[i]) dfs(i);
	int ans=0;
	rep(i,1,m) ans+=G[i].size()/2;
	printf("%d\n",ans);
	rep(i,1,m) {
		rep(j,0,G[i].size()/2-1) 
			printf("%d %d\n",G[i][j*2],G[i][j*2+1]);
	}
}