TopCoder - 12584 SRM 582 Div 1 SemiPerfectPower (莫比乌斯反演)

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TopCoder - 12584 SRM 582 Div 1 SemiPerfectPower (莫比乌斯反演)

题目大意：

给定 \(L,R\) ，求 \([L,R]\) 中能够表示为 \(a\cdot b^c(1\leq a<b,c>1)\) 的数(SemiPerfect数)的个数

\(R\leq 8\cdot 10^{16}\)

解题思路

首先显然可以通过作差转化为求 \([1,n]\) 内的个数

接下来考虑简化 \(c\) 的情形

推论：任何一个SemiPerfect数可以表示为 \(c\leq 3\) 的形式

证明：若 \(c>3\) ，对于 \(n=a\cdot b^c(c>3)\)

当 \(2|c\) 时，显然存在形如 \(n=a\cdot (b^{\frac{c}{2}})^{2}\) 的表示

当 \(2\not |c\) 时，可以表示为 \(n=(a\cdot c)\cdot (b^{\frac{c-1}{2}})^2\) 同样合法

接下来考虑对于两种情况分类讨论

为了便于叙述，令 \(F(n)=\max \lbrace k\in \N^+|\ k^2|n\rbrace\)

\(G(n)=[\nexists k>1,k^3|n]\)

Part1 \(c=2\)

为了避免重复，强制每一个数 \(n\) 的唯一表示为

\(n=a\cdot b^2(F(a)=1,a<b)\)

由于 \(a<b\) ，所以显然 \(n>a^3\) ，即 \(a<n^{\frac{1}{3}}\)

暴力枚举 \(a\) ，预处理 \(n^{\frac{1}{3}}\) 中所有的 \(G(i)\) 即可

\[ \ \]

Part \(c=3\)

同样的，限制条件为 \(n=a\cdot b^3,(G(a)=1,a<b)\) ，得到 \(a<n^{\frac{1}{4}}\)

但是由于 \(c=2,3\) 两部分有重复，还需额外考虑强制 \(n\) 不存在形如 \(n=a'\cdot b'^2\) 的表示

假设已知 \(n=a\cdot b^3\) ，不存在 \(n=a'\cdot b'^2\) 的判定条件是

\(a'=\frac{n}{F^2(n)}\ge F(n)\) ，即 \(F(n)\leq n^{\frac{1}{3}}\)

同时由于 \(F(n)=F(a\cdot b)b\)

得到 \(F(a,b)\leq a^{\frac{1}{3}}\)

由于等号右边包含 \(a\) ，考虑枚举 \(a\) ，易求出 \(L=F(a),d=\frac{a}{L^2}\) ，得到 \(F(a\cdot b)\) 的另一种表达形式

\(F(a\cdot b)=L \cdot \gcd (d,b)\cdot F(\frac{b}{\gcd(d,b)})\leq a^{\frac{1}{3}}\)

上面的转化意为： \(L\) 为 \(a\) 中已经成对的部分自然取出，然后优先考虑为 \(D\) 匹配 \(b\) 中的因数成对，对于剩下的部分再重新计算答案

\[ \ \]

化简该式，得到 \(L\cdot \gcd(d,b)F(\frac{b}{\gcd(d,b)})\leq a^{\frac{1}{3}}\)

式子包含 \(\gcd\) ，似乎具有莫比乌斯反演的性质

考虑计算 \(b\in [a+1,(\frac{n}{a})^{\frac{1}{3}}]\) 的数量

观察到 \(a^{\frac{1}{3}}\leq n^{\frac{1}{12}}\) ，上限只有 \(25\) 左右，可以考虑直接枚举 \(F(\frac{b}{\gcd(b,d)})\)

令枚举的 \(g=\gcd(b,d),F(\frac{b}{g})=f\) ，计算 \(\gcd(\frac{b}{g},\frac{d}{g})=1,g\cdot f\cdot L\leq a^{\frac{1}{3}}\) 的 \(b\) 的数量

考虑直接从 \(\frac{b}{g}\) 中把 \(f^2\) 的因数提取出来，令 \(\begin{aligned} L'=\lceil \frac{a+1}{gf^2}\rceil,R'=\lfloor \frac{(\frac{n}{a})^{\frac{1}{3}}}{gf^2}\rfloor \end{aligned}\) ，令 \(i=\frac{b}{gf^2},x=\frac{d}{g}\) ，得到新的限制条件式子为

\(\gcd(x,f)=1,\gcd(i,x)=1,F(i)=1,i\in[L',R']\)

在确定了 \(g,f\) 之后，需要考虑的限制就是 \(\gcd(i,x)=1,F(i)=1,i\in[L',R']\)

由于包含 \(\gcd\) ，不妨用莫比乌斯反演计算该式，得到表达式为

\(Sum=\sum_{k|x}\mu(k)\sum_{i\in [L',R']} [k|i\ \text{and}\ F(i)=1]\)

对于 \(k\) ，计算 \(\sum_{i\in[L',R']}[k|i\ \text{and}\ F(i)=1]\) 可以归纳为计算

\(\sum_{i=\frac{n}{k}} [F(ik)=1]\) ，一共有 \(n^{\frac{1}{3}}\ln n\) 种不同的权值，可以暴力预处理得到

枚举 \(d\) 的因数对于所有的上面的式子计算，可能的 \(g,f\) 并不多，可以直接枚举

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define pb push_back
#define rep(i,a,b) for(int i=a,i##end=b;i<=i##end;++i)
#define drep(i,a,b) for(int i=a,i##end=b;i>=i##end;--i)

class SemiPerfectPower {
public:
	static const int N=450000,M=20000;
	int w[N],notpri[N],pri[N],pc,F[N],G[N];
	vector <int> S[N],Fac[N];
	ll gcd(ll a,ll b){ return b==0?a:gcd(b,a%b); }
	SemiPerfectPower(){
		// 预处理F,G ,w[i]=\mu(i) S[k][i]=\sum_{j \in [1,i]}  F(i,k)=1
		rep(i,1,sqrt(N)) rep(j,1,(N-1)/i/i) F[i*i*j]=i;
		rep(i,2,pow(N,1/3.0)) rep(j,1,(N-1)/i/i/i) G[i*i*i*j]=1;
		rep(i,1,M-1) for(int j=i;j<M;j+=i) Fac[j].pb(i);
		w[1]=1;
		rep(i,2,N-1) {
			if(!notpri[i]) pri[++pc]=i,w[i]=-1;
			for(int j=1;i*pri[j]<N && j<=pc;++j) {
				notpri[i*pri[j]]=1;
				if(i%pri[j]==0) {
					w[i*pri[j]]=0;
					break;
				} 
				w[i*pri[j]]=-w[i];
			}
		}
		rep(i,1,N-1) if(w[i]) {
			S[i].resize(N/i+1);
			rep(j,1,(N-1)/i) S[i][j]=S[i][j-1]+(F[i*j]==1);
		}
	}

	ll Solve2(ll n){
		ll ans=0,UX=pow(n,1/3.0);
        // 防止浮点误差
		if((UX+1)*(UX+1)*(UX+1)<=n) UX++;
		if(UX*UX*UX>n) UX--;
		rep(i,1,UX) if(F[i]==1) {
			ll UY=sqrt(n/i);
            // 防止浮点误差
			if(i*(UY+1)*(UY+1)<=n) UY++;
			if(i*UY*UY>n) UY--;
			ans+=max(0ll,UY-i);
		}
		return ans;
	}

	ll Solve3(ll n){
		ll UX=pow(n,0.25); 
		// 枚举c的上界
		ll ans=0;
		if((UX+1)*(UX+1)*(UX+1)*(UX+1)<=n) UX++;
		rep(x,1,UX) if(!G[x]) {
			ll UY=pow(n/x,1.0/3.0),U=pow(x,1/3.0);
			
			// 防止浮点误差
			if((U+1)*(U+1)*(U+1)<=x) U++;
			if(U*U*U>x) U--;
			if(x*(UY+1)*(UY+1)*(UY+1)<=n) UY++;
			if(x*UY*UY*UY>n) UY--;

			int L=F[x],D=x/L/L;
			for(int G:Fac[D]) {
				for(int g:Fac[G]) {
					if(g*L>U) break;
					rep(f,1,U/g/L) if(gcd(f,D/g)==1) {
						int L=x/G/f/f,R=UY/G/f/f;
						ans+=w[G/g]*(S[G/g][R]-S[G/g][L]);
					}
				}
			}
		}
		return ans;
	}
	ll Solve(ll n) {
		return Solve2(n)+Solve3(n);
	}
	ll count(ll L,ll R) {
		return Solve(R)-Solve(L-1);
	}
};