设 $\\displaystyle C(x)=\\sum_{i=0}^{\\infty} C_i$

Posted on 2023-08-12 Edited on 2024-04-19 In CP 题解

设 $\displaystyle C(x)=\sum_{i=0}^{\infty} C_i$

易知 $xC^2=C-1$

设 $F_{n,m}=[x^m](C-1)^n,F_n(x)=(C-1)^n$

知 $F_n(x)=(C-1)^n=xC^2 (C-1)^{n-1}=x ((C-1)^{n+1}+2(C-1)^n+(C-1)^{n-1})$

即 $F_{n,m}=F_{n+1,m-1}+2F_{n,m-1}+F_{n-1m-1}$

即 $F_{n,m}=F_{n-1,m+1}-2F_{n-1,m}-F_{n-2,m}$

进一步规约，得到答案的表达式

$\displaystyle Ans_i=[x^n] (C(x)-1)^i [y^i] e^{\varphi}$

其中 $\displaystyle \varphi=\sum _{i\ge 1}2(i+1) \cdot (C(x)-1) y^i$

$\displaystyle \varphi=\sum _{i\ge 1}2(i+1) \cdot (C(x)-1) y^i$

$\displaystyle \int \varphi\ dy =\sum_{i\ge 1} 2(C(x)-1) y^{i+1}=\sum_{i\ge 2} 2(C(x)-1) y^i$

$\displaystyle \int \varphi\ dy = 2(C(x)-1) \frac{y^2}{1-y}$

$\displaystyle \varphi=2(C(x)-1) (\frac{y^2}{1-y})'=2(C(x)-1) \frac{2y-y^2}{(1-y)^2}$

$G_{n,m}$ 为 $n$ 个白格， $m$ 为总格数的权值

$\displaystyle G_{n}(x)=(\sum_{i\ge 2} 2i x^i)^n$

设 $\displaystyle \varphi(x)=\sum_{i\ge 2} 2i x^i$

$\displaystyle \varphi(x)=2x(\sum_{i\ge 2} x^i)'=2x^2 \frac{2-x}{1-x}$

$G_n(x)=\varphi^n(x)$

$Ans_i$ 表示有 $i$ 个白格的答案

$Ans_i=\displaystyle \sum_j G_{i,j} F_{j,n}$